Revista ELECTRO
Vol. 46 – Año 2024
Artículo
TÍTULO
La Discontinuidad desde un Punto de Vista Natural
AUTORES
González-Rodríguez, A.; Baray-Arana, R.E.
RESUMEN
El control por modos deslizantes (SMC por sus siglas en inglés) es una técnica de control altamente robusta con la capacidad de compensar perturbaciones e incertidumbres de manera exacta. La propieda d de robustez es una consecuencia de los términos discontinuos en la ley de control. Es razonable pensar que una acción de control discontinua puede ser extraña, artificial o abrupta para controlar un sistema dinámico. Sin embargo, como se expondrá en este artículo, en la naturaleza no es complicado encontrar sistemas dinámicos con términos discontinuos, por ejemplo, la fricción seca. De esta manera el presente artículo contextualiza una señal de control discontinua en la perspectiva de fricción seca. En este artículo se presentan los resultados experimentales para validar los resultados teóricos.
Palabras Clave: Tiempo finito, fricción seca, control discontinuo.
ABSTRACT
The classic sliding mode control (CSMC) is a highly robust control technic cap able of exact compens ation of matched pertu rbations and uncert ainties. The property of robustness is a conse quence of the discontinuous term in the CSMC. It is reasonable to think that a discontinuous control action can be odd, artificial or even an abrupt manner to control a dynamic system. However, as the paper will expose, in nature, dynamic models with discontinuous terms are not difficult to find, e.g., dry friction. Thus, the following paper deals with a discontinuous control law in the perspec tive of dry fiction. Experimental validation will be presented in the paper to demonstrate the theoretical analysis.
Keywords: Finite time, dry friction, discontinuous control
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[10] Sanjay P Bhat and Den nis S Bernstein. Finite-time stability of continuous autonomous systems. SIAM Journal on Control and optimization, 38(3):751 –766, 2000. 9. APÉNDICE Lema 1 Considerar un sistema descrito de la forma 𝑥̇ = 𝑓 (𝑥), donde 𝑥∈ℝ y una funci ón 𝑉∶ ℝ\{0} → (0,∞) y 𝑉(𝑥)=0 si y solo si 𝑥=0. Si 𝑉̇(𝑥(𝑡))= 𝑑𝑉𝑑𝑥𝑥̇=−𝛽𝑉𝛼, con 𝛽>0 y 𝛼∈(0,1), entonces el origen del sistema 𝑥̇ es un punto de equilibrio globalmente estable en tiempo finito. Prueba. Para probar que el origen de (11) es un punto de equilibrio estable en tiempo finito, es necesario dos condiciones: 1. El origen del lazo cerrado sea un punto de equilibrio estable en el sentido de Lyapunov. 2. Exista 𝑇(𝑥):𝐷⊂ℝ\{0}→(0,∞)𝑦 𝛾(𝑡):[0,𝑇(𝑥))→𝐷, tal que lim𝑡⟶𝑇(𝑥)𝛾(𝑡)=0 para mayor informaci ón vea
[11]. La primera condici ón se cumple por la definici ón dada de 𝑉(𝑥), esto es, 𝑉>0 y 𝑉̇<0 para todo 𝑥∈ℝ\{0} 𝑦 𝑉(𝑥)= 𝑉̇(𝑥)=0 únicamente si 𝑥=0. Por lo que el origen 𝑥=0 es un punto de equilibrio estable en el sentido de Lyapunov, vea la definici ón 4.1 y el Teorema 4.1 en el cap ítulo 4 de
[12]. La soluci ón de la ecuaci ón diferencial 𝑉̇(𝑥(𝑡))=−𝛽𝑉𝛼 esta dada por ∫𝑑𝑉𝑉𝛼𝑉(𝑡)𝑉(𝑥0)=−𝛽𝑡 Note que el limite inferior de la integral 𝑉(𝑥0) depende de la condici ón inicial 𝑥0 = 𝑥(0) del sistema 𝑥̇= 𝑓(𝑥). Por l o que V depende de cierto valor de x, entonces, en este contexto, 𝑉(𝑥0) =𝑉(𝑥). La soluci ón de la integral es (𝑉(𝑡))(1−𝛼)1−𝛼=(𝑉(𝑥))1−𝛼1−𝛼=−𝛽𝑡 (14) Se tiene 𝑉(𝑡)=[𝛽(1−𝛼)((𝑉(𝑥))(1−𝛼)𝛽(1−𝛼)−𝑡)]11−𝛼 𝛾(𝑡)=[𝛽(1−𝛼)(𝑇(𝑥)−𝑡)]11−𝛼 Note que lim𝑡⟶𝑇(𝑥)𝛾(𝑡)=0, por lo que se cumple la condición dos, y el origen del sistema 𝑥̇ es un punto de equilibrio estable en tiempo finito. Para comprobar que es global, por la definici ón de V(x) para todo 𝑥∈ℝ, se tiene que 𝐷=ℝ y por lo tanto el origen de 𝑥̇ es un punto de equilibro globalmente estable en tiempo finito. □
CITAR COMO:
González-Rodríguez, A.; Baray-Arana, R.E., "La Discontinuidad desde un Punto de Vista Natural", Revista ELECTRO, Vol. 46, 2024, pp. 103-109.
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